«Halla a y b para que la función sea derivable» es un ejercicio de EvAU que cae casi todos los años. Son dos condiciones y salen dos ecuaciones: es un sistema.
Las dos condiciones, en orden
- Continuidad: los dos laterales de la función tienen que coincidir en la frontera.
- Derivabilidad: los dos laterales de la derivada tienen que coincidir ahí.
El orden importa y no es un capricho: derivable implica continua, así que si falla la continuidad no hace falta ni mirar las derivadas. Al revés no: hay funciones continuas que no son derivables, como |x| en 0.
Cómo se plantea
Cada condición da una ecuación con los parámetros dentro, y las dos juntas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Se resuelve y ya está.
f(x) = ax + b si x ≤ 1, y x2 si x > 1. Derivable en x = 1
- Continuidad: a + b = 1.
- Derivabilidad: la derivada por la izquierda es a y por la derecha 2x, que en 1 vale 2.
- Así que a = 2.
- Sustituyendo en la primera: 2 + b = 1, luego b = −1.
- Comprobación: f(x) = 2x − 1 llega a 1 con pendiente 2, y x2 sale de 1 con pendiente 2 ✓.
Qué significa gráficamente
| Si falla | La gráfica tiene |
|---|---|
| la continuidad | un salto |
| solo la derivabilidad | un pico: se juntan pero con pendientes distintas |
Derivable significa suave: no solo que las dos partes se toquen, sino que lleguen con la misma inclinación.
Dónde se lía todo el mundo
Imponer solo la derivabilidad y olvidar la continuidad. Con una sola ecuación no se pueden despejar dos parámetros, y además una función con salto no puede ser derivable por muy iguales que sean sus pendientes.
Solo a = 2a = 2 y a + b = 1Dos parámetros piden dos ecuaciones: continuidad y derivabilidad.
En una frase: primero se iguala la función por los dos lados y después la derivada, y las dos ecuaciones juntas dan los parámetros.