Los teoremas de esta lección se preguntan enunciados y también aplicados: «demuestre que la ecuación tiene una solución» se resuelve con Bolzano en cuatro líneas, sin resolver la ecuación.
Continuidad
f(x) es continua en a si existe f(a), existe el límite y coinciden. En funciones a trozos con parámetros, la condición se convierte en una ecuación: se igualan los dos laterales y se despeja.
Teorema de Bolzano
Dicho en llano: si una curva empieza por debajo del eje y acaba por encima, y se dibuja sin levantar el lápiz, tiene que haberlo cruzado.
Cómo se usa
- Se pasa todo a un lado: f(x) = 0.
- Se dice que f es continua, y por qué (polinómica, cociente con denominador no nulo…).
- Se buscan dos valores con imágenes de signo contrario.
- Se concluye citando el teorema.
El paso 2 es el que se olvida y el que puntúa: sin continuidad el teorema no se aplica.
Probar que x3 + x − 1 = 0 tiene una solución en (0, 1)
- f(x) = x3 + x − 1 es continua por ser polinómica.
- f(0) = −1 < 0.
- f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0.
- Los signos son distintos, así que por Bolzano hay al menos un c en (0, 1) con f(c) = 0.
Weierstrass
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos. Lo importante es que el intervalo esté cerrado: en (0, 1) puede no haberlos.
Aplicar Bolzano sin justificar la continuidad, o a una función que no la tiene. Con 1:x en [−1, 1] los signos son distintos y no hay ninguna raíz: falla porque no es continua en 0.
«Los signos son distintos, luego hay raíz»«Es continua y los signos son distintos, luego hay raíz»Sin continuidad el teorema no dice nada.