Es el único tipo de indeterminación que no se parece a los demás y aparece cada año en la EBAU. Además es el que hay detrás del interés continuo y de cualquier crecimiento que se acumule sin parar.
De dónde sale el número e
límx→∞ (1 + 1/x)x = e ≈ 2,71828
La base tiende a 1 y el exponente a infinito. Uno elevado a lo que sea es 1, así que parece que debería dar 1; pero el exponente crece tan deprisa que compensa. Por eso es una indeterminación: las dos tendencias tiran en sentidos contrarios.
La fórmula que se usa
Si límx→∞ f = 1 y límx→∞ g = ∞:
límx→∞ fg = elímx→∞ g·(f − 1)
Se resta 1 a la base, se multiplica por el exponente, y ese límite es el exponente de e. Con eso, un problema de exponentes se convierte en uno normal.
Calcular límx→∞ (1 + 3/x)x
- Base → 1 y exponente → ∞: es del tipo 1∞.
- f − 1 = 3/x.
- g·(f − 1) = x · 3/x = 3.
- El límite es e3.
Cómo reconocerlo
| Base | Exponente | Tipo |
|---|---|---|
| → 1 | → ∞ | 1∞: indeterminado |
| → 2 | → ∞ | ∞: no es indeterminación |
| → 0,5 | → ∞ | 0: tampoco |
Solo la base 1 da problema. Con cualquier otra base el resultado se ve directamente.
Dar 1 como resultado porque «uno elevado a lo que sea es uno». La base no es 1: se acerca a 1, y eso cambia todo.
límx→∞ (1 + 3/x)x = 1= e3 ≈ 20,09Si la base fuera exactamente 1 no habría indeterminación; el problema es que se acerca.