En 1.º las indeterminaciones se rompían factorizando, y eso solo funciona con polinomios. Con senos, logaritmos y exponenciales hace falta otra herramienta, y esa es la regla de L'Hôpital: convierte el problema en una derivada.
La regla
Si al sustituir sale 0/0 o ∞/∞:
límx→a f : g = límx→a f′ : g′
Se derivan por separado el numerador y el denominador. No es la derivada de un cociente: no hay que aplicar la regla del cociente en ningún momento.
Se puede repetir tantas veces como haga falta, mientras siga saliendo una de las dos formas.
Cuándo NO se puede usar
| Forma | ¿L'Hôpital? |
|---|---|
| 0/0 | sí |
| ∞/∞ | sí |
| 0 · ∞ | antes hay que pasarlo a cociente |
| ∞ − ∞ | antes hay que operar hasta dejar un cociente |
| k/0 | no: no es indeterminación, es infinito |
Calcular límx→0 (ex − 1) : x
- Sustituyo: (1 − 1) : 0 = 0/0. Se puede aplicar.
- Derivo arriba: ex. Derivo abajo: 1.
- Queda límx→0 ex : 1 = 1 : 1.
- El límite es 1.
Los límites que conviene saberse
límx→0 (sen x) : x = 1 límx→0 (ex − 1) : x = 1 límx→0 ln(1+x) : x = 1
Los tres salen con L'Hôpital, pero reconocerlos de memoria ahorra dos líneas cada vez.
Dónde se lía todo el mundo
Aplicar L'Hôpital sin comprobar antes que hay indeterminación. Si el límite se puede sustituir, derivar da un número distinto y mal.
límx→1 (x + 1) : x = 1 : 1 = 1Sustituyendo directamente: 2 : 1 = 2Primero se sustituye. L'Hôpital solo si sale 0/0 o ∞/∞.
En una frase: si sale 0/0 o ∞/∞, se derivan numerador y denominador por separado y se vuelve a intentar.