«Halla el simétrico de P respecto del plano π» es un clásico de la EvAU, y se resuelve con un procedimiento fijo. Además la proyección aparece dentro de casi todos los problemas de distancias.
Proyección de un punto sobre un plano
- Se escribe la recta perpendicular al plano por P: su director es la normal del plano.
- Se sustituye la recta en la ecuación del plano y se despeja el parámetro.
- Ese parámetro da el punto de corte: la proyección P′.
La clave está en el paso 1: la recta que va de un punto a su proyección sobre un plano es perpendicular al plano, así que su director es exactamente el vector normal. Con eso, el problema se reduce a cortar una recta con un plano.
Y de ahí, el simétrico
P″ = 2P′ − P
Porque la proyección es el punto medio entre el punto y su simétrico. Es la misma fórmula de la unidad 4, aplicada aquí.
Simétrico de P = (1, 1, 1) sabiendo que su proyección es P′ = (2, 3, 0)
- La proyección es el punto medio entre P y su simétrico.
- P″ = 2(2, 3, 0) − (1, 1, 1).
- = (4−1, 6−1, 0−1) = (3, 5, −1).
- Comprobación: el punto medio de (1,1,1) y (3,5,−1) es (2,3,0) ✓.
Sobre una recta, igual pero al revés
| Sobre un plano | Sobre una recta |
|---|---|
| recta perpendicular con director = normal | plano perpendicular con normal = director |
| se corta con el plano | se corta con la recta |
Es el mismo esquema con los papeles cambiados: donde antes se usaba la normal como director, ahora se usa el director como normal.
Dónde se lía todo el mundo
Dar la proyección cuando piden el simétrico. Son dos puntos distintos: el simétrico está el doble de lejos, al otro lado.
«El simétrico es (2, 3, 0)»Ese es el pie de la perpendicular; el simétrico es 2P′ − PSi te has quedado en el corte con el plano, falta un paso.
En una frase: la proyección sale cortando con el plano la recta perpendicular por el punto, y el simétrico es 2 por la proyección menos el punto.