Es la distancia más pedida de la EvAU y la que más asusta, porque es la única que no se reduce a un punto y un objeto. Tiene fórmula propia y sale en cuatro cuentas.
La fórmula
d(r, s) = |[v1, v2, P1P2]| : |v1 × v2|
| Trozo | Qué es |
|---|---|
| arriba | el producto mixto, en valor absoluto: el volumen del paralelepípedo |
| abajo | el módulo del producto vectorial: el área de la base |
| el cociente | volumen entre área = altura, que es la distancia |
Por eso la fórmula es esa y no otra: se construye el paralelepípedo con los dos directores y el vector que une un punto de cada recta, y la distancia es su altura.
Antes de aplicarla
- Se comprueba que las rectas se cruzan: directores no proporcionales y mixto distinto de cero.
- Si el mixto es cero, están en un plano: se cortan y la distancia es 0.
- Si los directores son proporcionales, son paralelas y se usa la fórmula punto-recta.
Aplicar la fórmula sin comprobar da 0 dividido entre algo, que es correcto pero no explica nada: mejor decir por qué.
Mixto = 12 y |v1 × v2| = 3
- Numerador: |12| = 12.
- Denominador: 3.
- d = 12 : 3 = 4 unidades.
La tabla completa de distancias
| Entre | Se usa |
|---|---|
| punto y plano | sustituir y dividir entre |n| |
| punto y recta | |PQ × v| : |v| |
| rectas paralelas | punto de una a la otra |
| rectas que se cruzan | la fórmula del mixto |
| plano y recta paralela | punto de la recta al plano |
Dónde se lía todo el mundo
Usar la fórmula del mixto con rectas paralelas. Si lo son, el mixto vale cero y la fórmula da 0, que es falso: hay distancia. Con paralelas se toma un punto de una y se usa punto-recta.
Rectas paralelas: mixto = 0, luego d = 0Paralelas: se toma un punto de una y se aplica punto-rectaLa fórmula del mixto solo vale si de verdad se cruzan.
En una frase: se comprueba primero que se cruzan, y entonces la distancia es el mixto en valor absoluto dividido entre el módulo del producto vectorial.