Cierra la geometría del espacio: medir el ángulo entre dos objetos y calcular el área o el volumen de las figuras que determinan. Todo sale de los productos de la unidad 4.
Ángulos: qué vectores se usan
| Entre… | Se usan | Cuidado |
|---|---|---|
| dos rectas | los dos directores | — |
| dos planos | las dos normales | — |
| recta y plano | director y normal | al final se hace 90° − α |
El caso recta-plano es el que se falla. El ángulo que da la fórmula es el que forma la recta con la normal, y el que pide el problema es con el plano. Son complementarios: hay que restar de 90°.
Y siempre en valor absoluto, para quedarse con el ángulo agudo:
cos α = |u · v| : (|u| · |v|)
Áreas
| Figura | Área |
|---|---|
| paralelogramo con lados u y v | |u × v| |
| triángulo | |u × v| : 2 |
El triángulo es la mitad del paralelogramo: se traza la diagonal y se ve.
Volúmenes
| Cuerpo | Volumen |
|---|---|
| paralelepípedo | |[u, v, w]| |
| tetraedro | |[u, v, w]| : 6 |
Área del triángulo de vértices con u × v = (0, 0, 6)
- Módulo del producto vectorial: √(0+0+36) = 6.
- Ese 6 es el área del paralelogramo.
- El triángulo es la mitad: 3.
Dónde se lía todo el mundo
Dar el ángulo entre recta y plano sin restar de 90°. La fórmula da el ángulo con la normal, que es el complementario del que se pide.
Sale 30° entre director y normal → el ángulo es 30°El ángulo con el plano es 90° − 30° = 60°Con las rectas y con los planos no hay que restar; solo en el caso mixto.
En una frase: los ángulos salen del producto escalar en valor absoluto, las áreas del vectorial y los volúmenes del mixto, y entre recta y plano hay que restar de 90°.