Distancias

Matemáticas · Matemáticas II · 2.º Bachillerato (Ciencias) · Problemas métricos: ángulos, distancias y áreas

Es lo que se pregunta al final de casi todos los problemas de geometría: a qué distancia está un punto de un plano, o dos rectas entre sí. Con tres fórmulas y un truco se resuelven todas.

Punto a plano

d(P, π) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| : √A² + B² + C²

Arriba se sustituye el punto en la ecuación del plano y se toma valor absoluto; abajo va el módulo del vector normal. Es la fórmula más usada del curso.

Distancia de (1, 1, 1) al plano `x` + 2`y` + 2`z` − 12 = 0

Sustituyo el punto arriba: 1 + 2 + 2 − 12 = −7.
Valor absoluto: 7.
Módulo de la normal (1, 2, 2): √(1+4+4) = 3.
d = 7 : 3 ≈ 2,33.

Punto a recta

d(P, r) = |PQ × v| : |v|

Q es cualquier punto de la recta y v su director. Arriba, el módulo de un producto vectorial —que es el área de un paralelogramo—; abajo, la base. El cociente es la altura, que es justo la distancia.

El truco que ahorra fórmulas

Cuando dos cosas son paralelas, la distancia entre ellas es la de un punto cualquiera de una a la otra. Así, entre dos planos paralelos se toma un punto del primero y se usa la fórmula punto-plano; y entre dos rectas paralelas, un punto de una y la fórmula punto-recta. No hacen falta fórmulas nuevas.

Si no son paralelas

Situación	Distancia
se cortan	0
rectas que se cruzan	\|[`v`₁, `v`₂, `P`₁`P`₂]\| : \|`v`₁ × `v`₂\|

Dónde se lía todo el mundo

Olvidar el valor absoluto arriba y dar una distancia negativa. Una distancia nunca es negativa; el signo solo dice a qué lado del plano queda el punto.

d = −7 : 3d = |−7| : 3 = 7/3

Si la respuesta sale negativa, falta el valor absoluto.

En una frase: se sustituye el punto en el plano, se toma valor absoluto y se divide entre el módulo de la normal; y entre cosas paralelas basta tomar un punto de una.