Media EvAU de geometría empieza con «halla el plano perpendicular a…» o «la recta paralela a…». Reconocer qué vector hay que usar en cada caso es lo que convierte esas preguntas en un minuto de trabajo.
La tabla que hay que tener clara
| Condición | Se traduce en |
|---|---|
| recta ∥ recta | directores proporcionales |
| recta ⊥ recta | v1 · v2 = 0 |
| plano ∥ plano | normales proporcionales |
| plano ⊥ plano | n1 · n2 = 0 |
| recta ∥ plano | v · n = 0 |
| recta ⊥ plano | v y n proporcionales |
Las dos últimas filas son las que se cruzan y las que más se fallan. Con recta y plano, todo va al revés: paralelismo se comprueba con producto escalar cero, y perpendicularidad con proporcionalidad. La razón es que la normal es perpendicular al plano, así que si la recta va en su dirección, atraviesa el plano de frente.
¿Es la recta de director (1, 2, 2) perpendicular al plano x + 2y + 2z = 0?
- Normal del plano: (1, 2, 2).
- Director de la recta: (1, 2, 2).
- Son iguales, luego proporcionales.
- Así que la recta es perpendicular al plano.
Cómo se construyen los objetos que piden
| Piden | Se hace |
|---|---|
| plano ⊥ a una recta por P | normal = director de la recta |
| recta ⊥ a un plano por P | director = normal del plano |
| plano ∥ a otro por P | misma normal, se ajusta D |
| recta ∥ a otra por P | mismo director |
Un caso que aparece
«Plano perpendicular a otros dos»: su normal tiene que ser perpendicular a las dos normales, así que es el producto vectorial de ellas. Es el mismo razonamiento que el director de una recta dada por dos planos.
Dónde se lía todo el mundo
Aplicar a recta y plano la regla de recta con recta. Entre dos rectas, perpendicular es escalar cero; entre recta y plano, perpendicular es proporcional.
Recta ⊥ plano: v · n = 0Recta ⊥ plano: v y n proporcionalesY v · n = 0 significa recta paralela al plano.
En una frase: entre objetos del mismo tipo, paralelo es proporcional y perpendicular es escalar cero; entre recta y plano es justo al revés.