Es la otra forma en que aparece una recta en el espacio, y la que más despista porque no trae ni punto ni director a la vista. Los dos se sacan en dos líneas.
La forma implícita
Dos planos que se cortan determinan una recta, y se escribe dando las dos ecuaciones a la vez:
r: { A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ; A2x + B2y + C2z + D2 = 0 }
Cómo se saca el director
La recta está dentro de los dos planos, así que es perpendicular a las dos normales. Y el vector perpendicular a otros dos es su producto vectorial:
v = n1 × n2
Cómo se saca un punto
- Se le da un valor cualquiera a una de las incógnitas —lo más cómodo, cero—.
- Quedan dos ecuaciones con dos incógnitas.
- Se resuelven y ya se tiene un punto de la recta.
- Si el sistema resultante no tiene solución, se prueba anulando otra incógnita.
r: { x + y = 1 ; z = 0 }
- Normales: (1, 1, 0) y (0, 0, 1).
- Director: su producto vectorial, (1, −1, 0).
- Punto: hago x = 0 y queda y = 1, z = 0. El punto es (0, 1, 0).
- Comprobación: (0,1,0) cumple las dos ecuaciones ✓.
Pasar de una forma a otra
| De | A | Cómo |
|---|---|---|
| implícita | paramétrica | producto vectorial y un punto |
| paramétrica | implícita | se despeja el parámetro y se iguala |
Dónde se lía todo el mundo
Tomar una de las dos normales como director de la recta. La normal es perpendicular a su plano, y la recta está dentro de él: son perpendiculares entre sí, no iguales.
v = n1v = n1 × n2Comprobación: el director tiene que dar producto escalar cero con las dos normales.
En una frase: el director es el producto vectorial de las dos normales, y un punto sale anulando una incógnita y resolviendo el sistema que queda.