Son dos herramientas que acortan mucho los ejercicios: la primera escribe un plano paralelo a otro en una línea, y la segunda encuentra el plano que contiene una recta y cumple otra condición sin calcular ningún producto vectorial.
Planos paralelos
Plano paralelo a x + 2y + 2z − 5 = 0 que pase por (1, 1, 1)
- Misma normal, así que la ecuación es x + 2y + 2z + k = 0.
- Impongo el punto: 1 + 2 + 2 + k = 0.
- k = −5.
- Sale el mismo plano: el punto (1,1,1) ya estaba en él. Con otro punto saldría otro k.
El haz de planos
Todos los planos que contienen a una recta dada por dos planos π1 y π2 se escriben así:
π1 + λπ2 = 0
Es decir: se suman las dos ecuaciones con un parámetro delante de la segunda. Cualquier punto de la recta anula las dos ecuaciones, así que anula la combinación sea cual sea λ: por eso todos esos planos contienen la recta.
Cómo se usa
- Se escribe el haz: π1 + λπ2 = 0.
- Se impone la condición extra —pasar por un punto, ser perpendicular a algo—.
- Se despeja λ.
- Se sustituye y se ordena la ecuación.
Ahorra el producto vectorial y el punto: en un ejercicio de «halla el plano que contiene a r y pasa por P» es la vía más corta con diferencia.
Cambiar los coeficientes al escribir un plano paralelo. Si cambias A, B o C ya no es paralelo: has cambiado la orientación.
Paralelo a x + 2y + 2z − 5 = 0: 2x + 4y + 2z + k = 0x + 2y + 2z + k = 0Multiplicar toda la normal por un número sí vale: 2x + 4y + 4z es la misma dirección.