Es la construcción más pedida de la unidad: dan tres puntos y piden el plano que los contiene. Y es la que enlaza el producto vectorial de la unidad 4 con la ecuación general del plano.
El procedimiento
- Se forman dos vectores del plano: AB y AC.
- Su producto vectorial da el vector normal n.
- Con n y uno cualquiera de los tres puntos se escribe la ecuación.
- Se comprueba con los otros dos puntos: tienen que cumplirla.
Plano por (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)
- AB = (−1, 1, 0) y AC = (−1, 0, 1).
- Producto vectorial: (1, 1, 1), que es la normal.
- Con el punto (1,0,0): 1(x − 1) + 1y + 1z = 0.
- Queda x + y + z − 1 = 0.
- Comprobación con (0,1,0): 0 + 1 + 0 − 1 = 0 ✓.
Antes de empezar: ¿están alineados?
Si los tres puntos están alineados, no determinan un plano sino infinitos. Se detecta porque AB y AC salen proporcionales y su producto vectorial es el vector cero. Merece la pena mirarlo: si el producto vectorial da (0,0,0), no hay plano único.
La forma con determinante
Hay un atajo que evita calcular la normal aparte: el plano por A con vectores u y v es el conjunto de puntos que hacen cero el determinante
|x−a1, y−a2, z−a3; u1, u2, u3; v1, v2, v3| = 0
Porque anular ese determinante es decir que los tres vectores son coplanarios, que es justo la condición de estar en el plano.
Dar por buena la ecuación sin comprobar con los tres puntos. Un signo mal en el producto vectorial da un plano que pasa por uno o dos de ellos, y parece correcto.
Escribo la ecuación y paso al siguiente apartadoSustituyo los tres puntos: los tres tienen que dar 0Cuesta veinte segundos y salva el apartado entero.