Antes de calcular una distancia o un punto de corte hay que saber si las dos cosas se cortan, son paralelas o se cruzan. Equivocarse aquí invalida todo lo que venga después.
Dos planos
| Situación | Cómo se reconoce |
|---|---|
| se cortan en una recta | las normales no son proporcionales |
| paralelos | normales proporcionales, ecuaciones no |
| coincidentes | toda la ecuación es proporcional |
Recta y plano
La clave es el producto escalar del director de la recta por la normal del plano:
| v · n | Situación |
|---|---|
| ≠ 0 | se cortan en un punto |
| = 0 y el punto no está en el plano | paralelos |
| = 0 y el punto sí está | la recta está contenida en el plano |
Que v · n = 0 significa que la recta va perpendicular a la normal, es decir, paralela al plano. Cuál de los dos casos es lo decide un punto.
Dos rectas
- ¿Son los directores proporcionales? Si sí: paralelas o coincidentes —lo decide un punto—.
- Si no, se mira el producto mixto [v1, v2, P1P2].
- Mixto = 0 → se cortan. Mixto ≠ 0 → se cruzan.
Cruzarse es lo característico del espacio: dos rectas pueden no ser paralelas y no cortarse nunca, porque pasan a distinta altura. En el plano eso no puede ocurrir.
¿Es la recta de director (1, 2, 2) paralela al plano 2x − 2y + z = 0?
- Normal del plano: (2, -2, 1).
- Producto escalar: 1·2 + 2·(−2) + 2·1 = 2 − 4 + 2 = 0.
- Es cero, así que la recta es paralela al plano o está dentro.
- Para decidirlo se toma un punto de la recta y se comprueba si cumple la ecuación.
Dónde se lía todo el mundo
Concluir «paralelos» en cuanto v · n = 0, sin comprobar el punto. La recta puede estar dentro del plano, que es un caso distinto.
v · n = 0 → paralelosv · n = 0 → paralelos o contenida; lo decide un puntoEs el paso que más puntos cuesta olvidar.
En una frase: se comparan directores y normales, y cuando el producto escalar se anula hay que mirar un punto para saber si es paralelismo o contención.