Escribir bien una recta o un plano es la mitad de cualquier problema de geometría del espacio. Cada forma de escribirlos enseña un dato distinto, y elegir la adecuada ahorra media página de cuentas.
La recta
Hace falta un punto P y un vector director v:
| Forma | Se escribe | Enseña |
|---|---|---|
| Vectorial | X = P + tv | la idea: se parte de P y se avanza en dirección v |
| Paramétrica | x = p1 + tv1, etc. | los puntos, dando valores a t |
| Continua | (x−p1):v1 = … | punto y director de un vistazo |
El plano
Su ecuación más útil es la general:
Ax + By + Cz + D = 0
Los coeficientes A, B, C son las componentes del vector normal: n = (A, B, C), perpendicular al plano. Leerlo directamente de la ecuación es lo que más tiempo ahorra en toda la unidad.
Cómo se construye un plano
- Con un punto y dos vectores del plano: se hace el producto vectorial para obtener n.
- Con el punto y n se escribe A(x−x0) + B(y−y0) + C(z−z0) = 0.
- Se desarrolla y queda la general.
Plano que pasa por (1, 0, 2) con normal (1, 2, 2)
- 1(x − 1) + 2(y − 0) + 2(z − 2) = 0.
- x − 1 + 2y + 2z − 4 = 0.
- x + 2y + 2z − 5 = 0.
- Comprobación: el punto (1,0,2) da 1 + 0 + 4 − 5 = 0 ✓.
Dónde se lía todo el mundo
Confundir el vector director de una recta con el normal de un plano. Son perpendiculares entre sí, así que usar uno por otro da justo lo contrario de lo que se busca.
El plano x + 2y + 2z = 5 tiene dirección (1, 2, 2)(1, 2, 2) es su normal: perpendicular al plano, no contenido en élRecta → director (va a lo largo). Plano → normal (sale hacia fuera).
En una frase: la recta se escribe con punto y director, el plano con punto y normal, y los coeficientes de la ecuación general del plano son su vector normal.