Antes de rectas y planos hay que moverse con soltura entre puntos y vectores. Es lo que permite escribir «el vector que va de A a B» sin pensarlo, y de ahí sale todo lo demás.
De puntos a vectores y al revés
| Se busca | Fórmula |
|---|---|
| vector de A a B | B − A, componente a componente |
| punto medio de A y B | (A + B) : 2 |
| simétrico de A respecto de M | 2M − A |
| distancia entre A y B | el módulo de B − A |
A = (1, 2, 3) y B = (5, 4, 1)
- Vector AB = (5−1, 4−2, 1−3) = (4, 2, −2).
- Punto medio: ((1+5):2, (2+4):2, (3+1):2) = (3, 3, 2).
- Simétrico de A respecto del punto medio: 2(3,3,2) − (1,2,3) = (5, 4, 1), que es B ✓.
Módulo y vector unitario
|v| = √v21 + v22 + v23
El unitario en la dirección de v se obtiene dividiendo cada componente entre el módulo. Sirve cuando interesa la dirección y no la longitud: por ejemplo, para escribir el vector normal de un plano con módulo 1.
Puntos alineados
Tres puntos A, B y C están alineados si los vectores AB y AC son proporcionales. Es la aplicación más directa de la lección anterior.
Restar al revés al calcular el vector entre dos puntos. AB = B − A: se resta el origen, no el destino. Con el orden cambiado sale el vector opuesto.
AB = A − BAB = B − ARegla: «llega menos sale». Para muchos ejercicios da igual el sentido, pero para otros no.