Es la sombra que un vector deja sobre otro, y es la idea que hay detrás de casi todas las distancias de la unidad 6. Además responde a una pregunta física concreta: cuánto de una fuerza actúa en una dirección dada.
La fórmula
proyección de u sobre v = (u · v) : |v|
De dónde sale
El producto escalar es |u||v|cos α. La sombra de u sobre la dirección de v mide |u|cos α. Dividiendo el producto escalar entre |v| queda exactamente eso.
Proyección de (3, 4, 0) sobre (1, 0, 0)
- Producto escalar: 3·1 + 4·0 + 0·0 = 3.
- Módulo de (1, 0, 0): 1.
- Proyección: 3 : 1 = 3.
- Tiene sentido: proyectar sobre el eje x es quedarse con la primera componente.
Qué dice el signo
| La proyección es | Significa |
|---|---|
| positiva | u apunta hacia el mismo lado que v |
| negativa | apunta al lado contrario |
| cero | son perpendiculares: no hay sombra |
Para qué se usa después
En la unidad 6, la distancia de un punto a un plano es exactamente una proyección: la del vector que va del plano al punto sobre el vector normal. Por eso en esa fórmula aparece dividido entre el módulo de la normal y no entre dos módulos.
Dividir entre los dos módulos. Eso da el coseno del ángulo, que es un número entre −1 y 1, no una longitud.
proyección = (u·v) : (|u||v|)proyección = (u·v) : |v|Si el resultado sale siempre entre −1 y 1, has calculado el coseno.