Es el concepto que hay detrás de todas las posiciones relativas de las unidades siguientes. «Dos rectas son paralelas» significa que sus directores son dependientes; «tres vectores están en un plano», que son dependientes. Con esta idea, la geometría deja de ser una lista de casos.
Qué significa
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno se puede escribir como combinación de los demás: aporta una dirección que ya estaba. Si ninguno se puede, son independientes.
| Cuántos | Son dependientes si | Significa |
|---|---|---|
| dos | son proporcionales | misma dirección |
| tres | el determinante que forman vale 0 | están en un mismo plano |
| cuatro o más en el espacio | siempre | en 3D no caben cuatro direcciones |
Base del espacio
Tres vectores independientes forman una base: cualquier vector del espacio se escribe de forma única como combinación suya. La más cómoda es la canónica, (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1), que es la que se usa sin decirlo cada vez que se escriben coordenadas.
¿Son (1, 2, 3), (2, 4, 6) y (1, 0, 0) una base?
- El segundo es el doble del primero.
- Así que hay una dirección repetida: son dependientes.
- El determinante que forman vale 0.
- No forman base: entre los tres solo cubren un plano, no todo el espacio.
Rango y dependencia, que son lo mismo
El rango del conjunto de vectores es cuántos son independientes. Con tres vectores del espacio: rango 3 significa base, rango 2 que están en un plano, y rango 1 que están todos en la misma recta.
Comprobar solo si hay dos proporcionales. Tres vectores pueden ser dependientes sin que ninguna pareja lo sea: basta que el tercero sea suma de los otros dos.
«Ninguno es múltiplo de otro, luego son independientes»Hay que calcular el determinante: si vale 0, son dependientes(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (1, 1, 0) no tienen parejas proporcionales y son dependientes.