El producto vectorial fabrica un vector perpendicular a otros dos, y eso es exactamente lo que hace falta para escribir la ecuación de un plano. El mixto da volúmenes y decide si tres vectores están en el mismo plano.
Producto vectorial
Se calcula como un determinante simbólico:
u × v = |i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3|
| Propiedad | |
|---|---|
| el resultado es un vector | perpendicular a los dos |
| |u × v| | área del paralelogramo que forman |
| u × v = −(v × u) | no es conmutativo |
| u × v = 0 | son paralelos |
Escalar o vectorial: cuál usar
| Si hace falta… | Se usa |
|---|---|
| un ángulo | escalar |
| saber si son perpendiculares | escalar (= 0) |
| un vector perpendicular a otros dos | vectorial |
| saber si son paralelos | vectorial (= 0) |
| un área | vectorial (su módulo) |
Esta tabla resuelve el error más caro de la unidad, que no es calcular mal sino elegir el producto equivocado.
Producto mixto
[u, v, w] = u · (v × w) = determinante de los tres
Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo. Y si vale 0, los tres vectores son coplanarios: están en el mismo plano. Esa es la forma estándar de comprobar si cuatro puntos están en un plano.
(1, 0, 0) × (0, 1, 0)
- Es el clásico i × j.
- El resultado tiene que ser perpendicular a los dos, que están en el plano XY.
- Sale (0, 0, 1), el vector k.
Dónde se lía todo el mundo
Usar el escalar donde hace falta el vectorial. Si el enunciado pide un vector perpendicular a dos, el escalar no sirve: da un número.
Vector normal al plano = u · vVector normal al plano = u × vEscalar → número. Vectorial → vector. La pregunta dice cuál hace falta.
En una frase: el vectorial da un vector perpendicular a los dos y su módulo es un área; el mixto da un volumen y vale cero si los tres vectores son coplanarios.