Un vector guarda a la vez una dirección y una magnitud. Con vectores se escriben las rectas y los planos de las unidades siguientes, y el producto escalar es lo que permite medir ángulos y decidir si dos cosas son perpendiculares.
Módulo
|v| = √v21 + v22 + v23
Es la longitud del vector: Pitágoras en tres dimensiones.
Producto escalar
Se puede calcular de dos maneras, y de igualarlas sale todo:
u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
u · v = |u| · |v| · cos α
El resultado es un número, no un vector. Y de ahí sale la propiedad que más se usa: u · v = 0 si y solo si son perpendiculares, porque cos 90° = 0.
El ángulo
cos α = (u · v) : (|u| · |v|)
Ángulo entre (1, 2, 2) y (2, -1, 2)
- Producto escalar: 1·2 + 2·(−1) + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4.
- Módulos: √(1+4+4) = 3 y √(4+1+4) = 3.
- cos α = 4 : 9 ≈ 0,444.
- α ≈ 63,6°.
Vector unitario
Se obtiene dividiendo cada componente entre el módulo. Sirve cuando interesa la dirección y no la longitud.
Dónde se lía todo el mundo
Creer que el producto escalar da un vector. Da un número, y por eso puede ser negativo: si lo es, el ángulo es obtuso.
u · v = (…, …, …)u · v = un númeroEl que da un vector es el vectorial, que se ve en la lección siguiente.
En una frase: el módulo es la longitud, el producto escalar es un número que sirve para el ángulo, y vale cero exactamente cuando los vectores son perpendiculares.