Un sistema homogéneo es el que tiene todos los términos independientes a cero. Aparecen solos al buscar vectores perpendiculares, al estudiar dependencia lineal y en cuanto se toca geometría, así que conviene reconocerlos.
La propiedad que lo cambia todo
La discusión, reducida a un caso
| Si |A|… | El sistema es | Soluciones |
|---|---|---|
| ≠ 0 | compatible determinado | solo la trivial |
| = 0 | compatible indeterminado | infinitas |
Comparado con un sistema normal, la discusión es la mitad de larga: no hay que mirar la ampliada, porque su última columna es de ceros y no puede subir el rango.
Discutir mx + y = 0, 4x + my = 0
- |A| = m2 − 4.
- Se anula en m = 2 y m = −2.
- Si m ≠ ±2: solo la solución trivial, x = y = 0.
- Si m = 2: queda 2x + y = 0, es decir infinitas soluciones con un parámetro.
Cómo se escriben las infinitas soluciones
Se despeja en función de un parámetro. Para 2x + y = 0 se toma x = λ y entonces y = −2λ: la solución es (λ, −2λ) para cualquier λ. Conviene comprobarla sustituyendo con λ = 1.
Decir que un homogéneo puede ser incompatible. No puede: la solución trivial siempre está ahí, así que las únicas opciones son «solo la trivial» o «infinitas».
«Si |A| = 0 el sistema no tiene solución»«Si |A| = 0 tiene infinitas»Si en una discusión de un homogéneo te sale «incompatible», hay un error.