Es la fórmula que resuelve un sistema sin escalonar, escribiendo cada incógnita como un cociente de determinantes. Aparece en la EvAU y tiene una ventaja concreta: permite calcular una sola incógnita sin resolver el sistema entero.
Cuándo se puede usar
Solo si el sistema es cuadrado —tantas ecuaciones como incógnitas— y |A| ≠ 0. Eso equivale a decir que es compatible determinado. Si el determinante se anula, Cramer no se puede aplicar y hay que ir a Gauss o discutir con Rouché.
La fórmula
x = |Ax| : |A|
Donde Ax es la matriz de coeficientes con la columna de las x sustituida por la de los términos independientes. Igual para y y para z, cambiando su columna.
2x + y = 5, x + 3y = 10
- |A| =
= 6 − 1 = 5. No es cero: se puede.2 1 1 3 - |Ax| =
= 15 − 10 = 5.5 1 10 3 - x = 5 : 5 = 1.
- |Ay| =
= 20 − 5 = 15, así que y = 15 : 5 = 3.2 5 1 10 - Comprobación: 2 + 3 = 5 ✓ y 1 + 9 = 10 ✓.
Cuándo compensa
| Situación | Qué usar |
|---|---|
| piden solo una incógnita | Cramer: dos determinantes y listo |
| el sistema es 2×2 o 3×3 y determinado | cualquiera de los dos |
| el determinante se anula | Gauss o Rouché: Cramer no vale |
| el sistema no es cuadrado | Gauss |
Dónde se lía todo el mundo
Sustituir la columna equivocada. Para calcular y se sustituye la columna de las y, no la primera: cada incógnita tiene su columna.
Para y sustituyo la primera columnaPara y sustituyo la segundaLa columna que se sustituye es la de la incógnita que se busca.
En una frase: cada incógnita es el cociente entre el determinante con su columna sustituida y el determinante de los coeficientes, y solo vale si este último no es cero.