«Discutir el sistema según los valores de m» es una pregunta fija de la EBAU. El teorema de Rouché-Frobenius la contesta comparando tres números, sin resolver nada.
Los tres números
| Símbolo | Qué es |
|---|---|
| rg(A) | rango de la matriz de coeficientes |
| rg(A*) | rango de la matriz ampliada |
| n | número de incógnitas |
El teorema, en una tabla
| Comparación | Sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| rg(A) ≠ rg(A*) | Incompatible | ninguna |
| rg(A) = rg(A*) = n | Compatible determinado | una |
| rg(A) = rg(A*) < n | Compatible indeterminado | infinitas |
En el último caso, el número de parámetros es n − rg(A): tantas incógnitas libres como le faltan al rango para llegar a n.
Cómo se hace con un parámetro
- Se calcula |A| dejando m dentro.
- Se iguala a cero: esos valores son los casos especiales.
- Para los demás, |A| ≠ 0, luego rg(A) = n y el sistema es compatible determinado.
- Para cada caso especial se estudian aparte los dos rangos.
Un sistema 3×3 con |A| = m2 − 4
- |A| = 0 cuando m = 2 o m = −2.
- Si m ≠ ±2: rg(A) = 3 = n, sistema compatible determinado.
- Si m = 2 o m = −2: hay que mirar la ampliada por separado.
- La respuesta completa tiene siempre esas dos partes.
Dónde se lía todo el mundo
Olvidar que la ampliada tiene una columna más, así que su rango puede ser mayor. Si el de la ampliada supera al de coeficientes, el sistema es incompatible.
rg(A) = 2, luego el sistema es indeterminadorg(A) = 2, pero si rg(A*) = 3 es incompatibleSiempre se comparan los dos rangos antes de decidir.
En una frase: si los rangos no coinciden es incompatible; si coinciden y llegan al número de incógnitas hay una solución, y si se quedan cortos hay infinitas.