Es el procedimiento con el que se resuelve cualquier sistema lineal, por grande que sea, y el que usan por dentro todos los programas de cálculo. Aquí se aprende con tres ecuaciones, pero el método es el mismo con trescientas.
La idea
Transformar el sistema en otro equivalente —con las mismas soluciones— pero escalonado, donde la última ecuación tenga una sola incógnita. Después se sube despejando.
Lo que está permitido
| Operación | ¿Cambia las soluciones? |
|---|---|
| intercambiar dos ecuaciones | no |
| multiplicar una ecuación por k ≠ 0 | no |
| sumar a una ecuación un múltiplo de otra | no |
Lo que no se puede: multiplicar por cero —se pierde una ecuación— ni sumar a una ecuación un múltiplo de sí misma.
El procedimiento
- Se escribe la matriz ampliada: coeficientes y términos independientes.
- Se hacen ceros por debajo de la diagonal, columna a columna.
- Se lee la última ecuación y se despeja.
- Se sube sustituyendo hacia arriba.
Resolver x + y = 5, 2x + 3y = 13
- A la segunda le resto 2 veces la primera: (2−2)x + (3−2)y = 13 − 10.
- Queda y = 3.
- Subo: x + 3 = 5, así que x = 2.
- Compruebo en la segunda: 4 + 9 = 13 ✓.
Cómo leer el final
| La última fila queda… | El sistema es… |
|---|---|
| con una incógnita despejable | compatible determinado |
| 0 = 0 | compatible indeterminado: sobra una ecuación |
| 0 = k, con k ≠ 0 | incompatible: no hay solución |
Pensar que 0 = 0 significa que el ejercicio está mal. Es una conclusión perfectamente válida: quiere decir que una ecuación no aportaba nada nuevo y hay infinitas soluciones.
«Me sale 0 = 0, algo he hecho mal»«Me sale 0 = 0: el sistema es compatible indeterminado»Lo que no puede pasar es 0 = 5, y eso significa incompatible, no error.