Es el método general para invertir una matriz de orden 3, que es el que pide la EvAU. Para 2×2 hay atajo; a partir de ahí, hace falta esto.
La fórmula
A−1 = (1 : |A|) · (Adj A)t
Se lee de dentro afuera: se calcula la matriz de adjuntos, se traspone, y se divide todo entre el determinante.
Qué es un adjunto
El adjunto del elemento (i, j) es el determinante que queda al tachar su fila y su columna, con el signo del tablero:
| + | − | + |
| − | + | − |
| + | − | + |
El signo es (−1) elevado a i + j: si la suma de la fila y la columna es par, va positivo.
El orden de los pasos
- Se calcula |A|. Si es cero, se para: no hay inversa.
- Se calcula la matriz de adjuntos, uno a uno y con su signo.
- Se traspone.
- Se divide entre el determinante.
- Se comprueba: A·A−1 tiene que dar la identidad.
El paso 1 va primero por una razón práctica: si el determinante sale cero, te has ahorrado los nueve adjuntos. Es el error de método más caro de la unidad.
Signo del adjunto del elemento (2, 3)
- i + j = 2 + 3 = 5.
- Es impar, así que el signo es negativo.
- Coincide con el tablero: la casilla (2, 3) lleva un menos.
Dónde se lía todo el mundo
Olvidar trasponer al final. La matriz de adjuntos sin trasponer no es la inversa, y el resultado no pasa la comprobación.
A−1 = (1:|A|)·Adj AA−1 = (1:|A|)·(Adj A)tLa comprobación A·A−1 = I lo caza siempre.
En una frase: determinante primero, después adjuntos con su signo, se traspone, se divide y se comprueba.