Las propiedades no están para memorizarlas: están para no calcular. Un determinante de orden 4 hecho a lo bruto son 24 productos; bien preparado con ceros, es uno.
Las que se usan
| Situación | El determinante |
|---|---|
| una fila (o columna) de ceros | vale 0 |
| dos filas iguales o proporcionales | vale 0 |
| una fila es combinación de otras | vale 0 |
| se intercambian dos filas | cambia de signo |
| se multiplica una fila por k | queda multiplicado por k |
| se suma a una fila un múltiplo de otra | no cambia |
| es triangular | es el producto de la diagonal |
La penúltima es la importante: sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. Es lo que permite fabricar ceros gratis antes de desarrollar, y es la técnica que convierte un 4×4 en algo abordable.
Dos que se confunden
|kA| = kn·|A| para una matriz de orden n
Porque multiplicar la matriz entera por k es multiplicar cada una de las n filas, y cada fila aporta un factor k. Con una 3×3, |2A| = 8|A|, no 2|A|.
|AB| = |A|·|B| |A−1| = 1 : |A|
|A| = 5 y A es de orden 3. ¿Cuánto vale |3A|?
- Cada una de las 3 filas queda multiplicada por 3.
- |3A| = 33 · |A|.
- = 27 · 5 = 135.
Dónde se lía todo el mundo
Sacar el factor una sola vez, como si fuera un producto por un número normal. Con orden 3 el factor aparece al cubo.
|3A| = 3 · 5 = 15|3A| = 33 · 5 = 135El exponente es el orden de la matriz, no el número de columnas que veas.
En una frase: las propiedades sirven para fabricar ceros antes de calcular, y al multiplicar la matriz por k el determinante queda multiplicado por k elevado al orden.