Es el ejercicio de EBAU más repetido del bloque: «discutir según los valores de m». Y siempre se resuelve igual: se calcula el determinante en función del parámetro y se mira dónde se anula.
El método
- Se calcula el determinante dejando el parámetro dentro.
- Se iguala a cero y se resuelve.
- Los valores que salen son los casos especiales: ahí no hay inversa y el rango baja.
- Para cualquier otro valor, el determinante no es cero y todo funciona.
La respuesta siempre tiene la misma estructura: «si m ≠ …, entonces …; si m = …, entonces …».
¿Para qué valores de m tiene inversa
| m | 1 |
| 4 | m |
- Determinante: m·m − 1·4 = m2 − 4.
- Igualo a cero: m2 − 4 = 0 → m = 2 y m = −2.
- Para m = 2 y m = −2 el determinante se anula: no hay inversa.
- Para cualquier otro valor de m, sí la hay.
Cómo se relaciona con el rango
| Determinante de orden n | Rango |
|---|---|
| distinto de 0 | n: el máximo |
| igual a 0 | menor que n: hay que mirar menores más pequeños |
Cuando el determinante grande se anula, se busca un menor de orden inferior que no sea cero, y su tamaño da el rango.
Dónde se lía todo el mundo
Contestar solo el caso especial y olvidar el general. La pregunta pide todos los valores, así que la respuesta tiene dos partes.
«No tiene inversa si m = ±2» y punto«Tiene inversa para todo m distinto de 2 y −2; para esos dos valores, no»La discusión completa vale el doble de puntos que la mitad.
En una frase: se calcula el determinante con el parámetro dentro, se iguala a cero, y esos valores son los casos especiales; todos los demás son el caso general.