«Calcula A100» parece una pregunta imposible y se resuelve en cuatro líneas. El ejercicio no pide fuerza bruta: pide encontrar la regularidad, y por eso aparece tanto en examen.
El método
- Se calcula A2.
- Se calcula A3.
- Se conjetura An.
- Se comprueba con A4, o se demuestra por inducción si lo piden.
El paso 4 no es opcional. Un patrón adivinado con dos casos falla más de lo que parece, y en la EvAU la conjetura sin comprobación puntúa la mitad. Si piden «demuéstralo», la demostración es por inducción: se supone cierto para n y se prueba para n + 1 multiplicando por A.
A =
| 1 | 1 |
| 0 | 1 |
- A2 =
1 2 0 1 - A3 =
1 3 0 1 - Conjetura: An =
1 n 0 1 - Comprobación: An·A =
✓, que es la fórmula con n + 1.1 n+1 0 1
Los tres comportamientos
| Tipo | Se reconoce por | Consecuencia |
|---|---|---|
| Periódica | Ak = I | solo importa el resto de n entre k |
| Con patrón | una entrada crece con n | se escribe la fórmula general |
| Idempotente | A2 = A | todas las potencias valen A |
Y uno más que aparece: nilpotente, cuando Ak = 0. A partir de ahí todas las potencias son la matriz nula.
Dónde se lía todo el mundo
Ponerse a multiplicar. Nadie espera cien productos: si te pones, es que no has visto de qué va el ejercicio.
A100 = A·A·A… cien vecesCalculo A2 y A3, veo el patrón y sustituyoSi tras tres potencias no aparece ninguna regularidad, revisa las cuentas.
En una frase: se calculan las primeras potencias, se conjetura la fórmula general y se comprueba —por inducción si lo piden—.