El rango dice cuánta información independiente hay en una matriz, y con eso se decide si un sistema tiene solución. La inversa es lo que permite despejar en una ecuación matricial. Las dos se usan en cada examen del bloque.
El rango
Es el número de filas linealmente independientes: cuántas aportan información nueva. Si una fila es suma o múltiplo de otras, no cuenta.
- Se hacen ceros por debajo de la diagonal (método de Gauss).
- Se cuentan las filas no nulas que quedan.
- Ese número es el rango.
Otra forma equivalente: el rango es el tamaño del mayor menor no nulo, y esa es la que se usa cuando hay parámetros.
La inversa
A · A−1 = A−1 · A = I
La inversa de una 2×2
Merece la pena saberla de memoria:
A−1 = (1 : |A|) ·
| d | −b |
| −c | a |
| a | b |
| c | d |
Se intercambian los de la diagonal principal y se cambia de signo la otra.
Invertir
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
- |A| = 2·2 − 1·3 = 1. Como no es cero, hay inversa.
- Intercambio la diagonal y cambio el signo de la otra:
2 -1 -3 2 - Divido entre el determinante, que es 1, así que queda igual.
- Comprobación rápida: A·A−1 tiene que dar la identidad.
Ecuaciones matriciales
Como el producto no es conmutativo, importa por qué lado se multiplica, y hay que hacerlo igual en los dos miembros:
| Ecuación | Se despeja |
|---|---|
| AX = B | X = A−1B (por la izquierda) |
| XA = B | X = BA−1 (por la derecha) |
Despejar por el lado equivocado. En AX = B la inversa tiene que ir delante, y en XA = B, detrás.
AX = B → X = BA−1AX = B → X = A−1BLa inversa se pega al lado donde está la matriz que se quiere eliminar.