Laplace es «casos favorables entre posibles», y en cuanto el experimento tiene más de un paso esos casos son miles: no se pueden enumerar. La combinatoria los cuenta sin escribirlos.
Las tres preguntas que lo deciden
- ¿Entran todos los elementos o solo algunos?
- ¿Importa el orden?
- ¿Se pueden repetir?
La tabla
| Situación | Nombre | Fórmula |
|---|---|---|
| entran todos, sin repetir | Permutaciones | Pn = n! |
| algunos, importa el orden, sin repetir | Variaciones | Vn,k = n! : (n−k)! |
| algunos, importa el orden, con repetición | Variaciones con repetición | nk |
| algunos, no importa el orden | Combinaciones | Cn,k = n! : [k!(n−k)!] |
La pregunta que de verdad separa los casos es la del orden. Un podio es distinto si cambian los puestos: variaciones. Una comisión de tres personas es la misma se nombren en el orden que se nombren: combinaciones.
De 5 personas, ¿cuántos podios de 3 puestos hay? ¿Y cuántas comisiones de 3?
- Podio: importa quién es primero. Variaciones: 5·4·3 = 60.
- Comisión: da igual el orden. Combinaciones: 60 : 3! = 60 : 6 = 10.
- La comisión sale menos porque cada grupo de 3 se ha contado 6 veces en el podio, una por cada orden.
La relación entre las dos
Cn,k = Vn,k : k!
Porque cada grupo de k elementos aparece k! veces entre las variaciones, una por cada forma de ordenarlo. Dividiendo se quitan las repeticiones.
Dónde se lía todo el mundo
Usar variaciones cuando el orden no importa. Sale un número más grande de lo debido —k! veces mayor—, y en probabilidad eso desplaza el resultado entero.
Comisiones de 3 entre 5: 6060 : 3! = 10Pregúntate: ¿cambiar el orden da un caso distinto? Si no, son combinaciones.
En una frase: si importa el orden son variaciones y si no, combinaciones, y las combinaciones son las variaciones divididas entre k factorial.