Bayes contesta la pregunta que de verdad importa en un diagnóstico o en un control de calidad: ya sé lo que ha pasado, ¿cuál fue la causa? Es recorrer el árbol al revés.
La fórmula
P(Bi|A) = [P(Bi) · P(A|Bi)] : P(A)
En palabras, y así se aplica sin memorizarla: arriba, la rama que interesa; abajo, la suma de todas las ramas. El denominador es exactamente la probabilidad total de la lección anterior.
Del ejemplo anterior: una pieza es defectuosa. ¿Probabilidad de que venga de la primera máquina?
- Rama de la primera: 0,6 · 0,05 = 0,03.
- Total de defectuosas: 0,03 + 0,04 = 0,07.
- P(máquina 1 | defectuosa) = 0,03 : 0,07.
- = 0,4286, es decir un 42,9 %.
- Aunque la primera fabrica más piezas, produce menos de la mitad de los fallos porque es más fiable.
Por qué un test bueno da falsos positivos
Es lo más contraintuitivo del tema y se entiende con una tabla. Enfermedad que afecta a 1 de cada 1 000; test que acierta el 99 % en enfermos y en sanos. Sobre 100 000 personas:
| Enfermos (100) | Sanos (99 900) | Total | |
|---|---|---|---|
| Test + | 99 | 999 | 1 098 |
| Test − | 1 | 98 901 | 98 902 |
De los 1 098 positivos, solo 99 están enfermos: un 9 %. El test es excelente y aun así la mayoría de los positivos son sanos, simplemente porque hay muchísimos más sanos.
Poner en el denominador solo la rama que interesa. Abajo va la probabilidad total del suceso, sumando todas las ramas que llevan a él.
P(B|A) = 0,03 : 0,03 = 1P(B|A) = 0,03 : 0,07 = 0,43Arriba una rama, abajo todas. Si el resultado te sale 1, has puesto el mismo número arriba y abajo.