Es la pregunta de integrales más repetida de la EvAU. Los cálculos son fáciles; lo que se falla es el orden de la resta y no partir donde las curvas se cruzan.
La fórmula
A = ∫ab [arriba − abajo] dx
Los límites son los puntos de corte, que salen de igualar las dos funciones.
El procedimiento
- Se igualan las dos funciones y se resuelve.
- Se prueba un punto intermedio para ver cuál va arriba.
- Se integra la diferencia.
- Si se cruzan dentro, se parte en cada corte y se suman los valores absolutos.
Área entre y = x e y = x2
- Cortes: x = x2 → x = 0 y x = 1.
- En x = 0,5: la recta vale 0,5 y la parábola 0,25. Arriba, la recta.
- A = ∫01 (x − x2) dx = [x2/2 − x3/3].
- = 1/2 − 1/3 = 1/6.
Con el eje x
Es el mismo problema con «abajo» = 0. Y ahí hay que acordarse de partir en los cortes con el eje: los tramos por debajo aportan negativo y hay que tomarlos en valor absoluto.
Comprobación de sentido
Un área nunca es negativa. Si sale negativa, se ha restado al revés: se cambia el signo y sigue.
Integrar de un tirón cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo. A cada lado del cruce cambia cuál va arriba, así que se están restando cosas distintas y el resultado no es el área.
Una sola integral de a a bSe parte en el cruce y se suman los valores absolutosBuscar los cortes es siempre el primer paso, y por eso.