Es el resultado que une las dos mitades del cálculo, y explica por qué funciona la regla de Barrow. Se pregunta enunciado y también aplicado, en el ejercicio de derivar una integral con límite variable.
El enunciado
Si f es continua, se define la función área
F(x) = ∫ax f(t) dt
Por qué de aquí sale Barrow
Si F es una primitiva de f, entonces el área entre a y b es F(b) − F(a). Barrow no es una regla aparte: es la consecuencia directa del teorema fundamental.
El ejercicio típico: derivar una integral
| Si F(x) es… | Su derivada es… |
|---|---|
| ∫ax f(t) dt | f(x) |
| ∫ag(x) f(t) dt | f(g(x))·g′(x) |
| ∫xb f(t) dt | −f(x) |
La segunda fila es la regla de la cadena: si el límite superior no es x sino una función de x, hay que multiplicar por su derivada. La tercera sale de que invertir los límites cambia el signo.
Derivar F(x) = ∫0x (t2 + 1) dt
- El límite superior es x tal cual.
- Por el teorema fundamental, F′(x) es el integrando con x en lugar de t.
- F′(x) = x2 + 1.
- No hay que integrar nada: ese es el ahorro del teorema.
Ponerse a calcular la integral para luego derivarla. Es correcto pero absurdo: el teorema existe justo para saltarse ese paso, y en muchos casos la integral ni siquiera se puede calcular.
Integro t2 + 1, evalúo y derivoF′(x) = x2 + 1, directamenteSi el ejercicio dice «sin calcular la integral», es exactamente esto lo que pide.