Es la aplicación con la que se cierra el curso, y la pregunta de examen más habitual del bloque: calcular el área encerrada entre dos curvas o entre una curva y el eje.
El aviso que decide la nota
La integral definida da un balance con signo, no un área. Donde la función va por debajo del eje aporta negativo, y esa parte resta. Si la función cambia de signo dentro del intervalo y no se parte la integral, el resultado no es el área.
El caso extremo: ∫-11 x3 dx = 0, y sin embargo hay área a los dos lados. La de la izquierda ha cancelado a la de la derecha.
El procedimiento
- Se buscan los puntos de corte con el eje —o entre las dos curvas—.
- Esos puntos parten el intervalo en tramos.
- Se integra en cada tramo por separado.
- Se suman los resultados en valor absoluto.
Área entre dos curvas
A = ∫ab [f − g] dx, con f la de arriba
Los límites a y b son los puntos de corte, que salen de resolver f = g. Y hay que saber cuál va por encima: se comprueba con un punto intermedio.
Área entre y = x2 y y = x
- Cortes: x2 = x → x = 0 y x = 1.
- Entre ellos, ¿cuál va arriba? En x = 0,5: la recta vale 0,5 y la parábola 0,25. Arriba está la recta.
- A = ∫01 (x − x2) dx = [x2/2 − x3/3].
- = 1/2 − 1/3 = 1/6 ≈ 0,167.
Dónde se lía todo el mundo
Integrar de un tirón cuando la función cruza el eje. Se obtiene un número menor que el área real, y a veces exactamente cero.
∫-11 x3 dx = 0, luego no hay áreaHay que partir en [−1, 0] y [0, 1] y sumar los valores absolutosAntes de integrar: busca los cortes con el eje.
En una frase: se buscan los cortes, se parte el intervalo, se integra en cada tramo y se suman los valores absolutos.