Conecta las dos mitades del cálculo: derivar e integrar son operaciones inversas, y gracias a eso un área —que en principio pediría sumar infinitos rectángulos— se calcula con una resta.
La regla
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Se busca una primitiva, se evalúa en el extremo de arriba, se resta lo que vale en el de abajo. Y ya.
Aquí no se pone «+ C»: al restar se cancelaría. Por eso da igual qué primitiva se elija, y se toma la más sencilla.
Calcular ∫02 2x dx
- Primitiva: F(x) = x2.
- F(2) = 4.
- F(0) = 0.
- Resultado: 4 − 0 = 4.
Propiedades útiles
| Propiedad | |
|---|---|
| ∫aa f(x) dx = 0 | sin anchura no hay área |
| ∫ab = −∫ba | al invertir los límites cambia el signo |
| ∫ab = ∫ac + ∫cb | se puede partir en trozos |
La tercera es la que se usa para separar los tramos donde la función cambia de signo.
Lo que da la integral definida
Un número con signo: positivo donde la función va por encima del eje y negativo donde va por debajo. No es un área todavía; es un balance.
Dónde se lía todo el mundo
Escribir «+ C» en una integral definida. No es incorrecto de fondo —se cancela— pero delata que no se ha entendido, y ensucia el desarrollo.
∫02 2x dx = [x2 + C]= [x2] = 4 − 0 = 4En la indefinida el «+ C» es obligatorio; en la definida sobra.
En una frase: se busca una primitiva, se evalúa arriba menos abajo, y el resultado es un número con signo.