Es la aplicación que cierra el bloque de integrales y la que mejor enseña de qué va integrar: sumar infinitas rodajas finísimas. Aparece en la EvAU como apartado final de un problema de áreas.
La fórmula
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Fíjate en que se integra la función al cuadrado. Es el error de la lección: integrar f(x) en vez de [f(x)]2 da un área, no un volumen, y las unidades ya no cuadran.
De dónde sale
Al girar la curva alrededor del eje x, cada punto describe una circunferencia de radio f(x). Una rodaja finísima de grosor dx es un disco de área π[f(x)]2. Sumar todos esos discos es exactamente la integral.
Volumen al girar y = x entre 0 y 3
- V = π ∫03 x2 dx.
- Primitiva: x3:3.
- Evalúo: 27:3 − 0 = 9.
- V = 9π unidades cúbicas.
- Comprobación: es un cono de radio 3 y altura 3, y su volumen es π·9·3:3 = 9π ✓.
Cuerpos conocidos, para comprobar
| Al girar | Sale | Volumen |
|---|---|---|
| y = r entre 0 y h | un cilindro | πr2h |
| y = (r:h)x entre 0 y h | un cono | πr2h:3 |
Merece la pena reconocerlos: si el resultado no coincide con la fórmula de toda la vida, hay un error.
Dónde se lía todo el mundo
Olvidar el cuadrado o la π. Sin el cuadrado sale un área; sin la π, un número sin sentido geométrico.
V = ∫03 x dx = 4,5V = π ∫03 x2 dx = 9πComprueba con el cuerpo conocido más parecido.
En una frase: se integra π por la función al cuadrado, porque cada rodaja es un disco de radio f(x).