Es la interpretación geométrica de la derivada y media pregunta de examen. Se resuelve con dos números y hay que tener claro cuál es cuál.
La fórmula
y = f(a) + f′(a)·(x − a)
| Dato | Qué es | Se saca |
|---|---|---|
| f(a) | la altura del punto | sustituyendo en la función |
| f′(a) | la pendiente | derivando y después sustituyendo |
Son dos números distintos y hacen falta los dos. El error más repetido es calcular uno solo y usarlo en los dos sitios: la recta resultante ni siquiera pasa por el punto.
Tangente a f(x) = x2 en x = 3
- Altura: f(3) = 9. El punto es (3, 9).
- Derivada: f′(x) = 2x, así que f′(3) = 6.
- y = 9 + 6(x − 3) = 6x − 9.
- Comprobación: en x = 3 la recta vale 9, igual que la curva ✓.
Las preguntas al revés
| Piden | Se plantea |
|---|---|
| «¿dónde la tangente es horizontal?» | f′(x) = 0 |
| «¿dónde la pendiente vale 6?» | f′(x) = 6 |
| «¿dónde es paralela a y = 4x + 1?» | f′(x) = 4 |
En los tres casos se plantea una ecuación con la derivada y se despeja x. La tercera usa que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Qué significa en economía
La pendiente de la tangente al coste en x = 20 es el coste marginal de la unidad 21. La recta tangente es la aproximación lineal: «si produzco un poco más, el coste sube más o menos a este ritmo».
Dónde se lía todo el mundo
Poner la altura donde va la pendiente. Con x2 en x = 3, la altura es 9 y la pendiente 6; cambiadas, la recta no pasa ni por el punto.
y = 6 + 9(x − 3)y = 9 + 6(x − 3)Primero va f(a); multiplicando al paréntesis, f′(a).
En una frase: la tangente necesita la altura y la pendiente, y la pendiente es siempre la derivada evaluada en el punto.