Es lo que se pregunta de cualquier modelo: hasta cuándo subieron las ventas, a partir de qué punto empezó a caer el beneficio, cuál fue el mejor mes. Todo sale del signo de la derivada.
El signo lo dice todo
| f′(x) | La función |
|---|---|
| > 0 | crece |
| < 0 | decrece |
| = 0 | punto crítico: candidato a extremo |
El procedimiento
- Se calcula f′(x).
- Se resuelve f′(x) = 0: salen los puntos críticos.
- Esos puntos parten la recta en tramos.
- Se prueba un punto de cada tramo en la derivada y se mira el signo.
- De + a − hay máximo; de − a +, mínimo.
Se sustituye en la derivada, no en la función. Que f(x) sea positiva no dice nada sobre si sube o baja: es un error frecuentísimo y da el resultado contrario.
Beneficio B(x) = −x2 + 40x − 100
- B′(x) = −2x + 40.
- Se anula en x = 20.
- En x = 10: B′ = 20 > 0, crece.
- En x = 30: B′ = −20 < 0, decrece.
- De + a −: en x = 20 hay máximo, y el beneficio ahí es B(20) = 300 €.
Que la derivada se anule no basta
En x3 la derivada se anula en 0 y la función sigue subiendo: no hay extremo. Hace falta que la derivada cambie de signo.
Responder lo que se pregunta
Casi siempre se piden dos cosas: dónde está el óptimo y cuánto vale. Son dos números distintos —20 unidades y 300 €— y responder solo uno cuesta la mitad de la nota.
Dónde se lía todo el mundo
Sustituir el punto de prueba en la función en lugar de en la derivada. La función dice a qué altura está la curva; solo la derivada dice si sube o baja.
B(30) = 200 > 0, luego creceB′(30) = −20 < 0, luego decreceQue el beneficio sea positivo no significa que esté aumentando.
En una frase: se resuelve f′(x) = 0, se prueba el signo de la derivada a cada lado, y de + a − hay máximo y de − a + mínimo.