Es la aplicación que justifica la unidad: encontrar el precio que da más ingresos, la producción que da más beneficio, el pedido que minimiza el coste. En la unidad 4 el óptimo estaba en un vértice; aquí está donde la derivada se anula.
El método, en tres pasos
- Se deriva y se resuelve f′(x) = 0: salen los puntos críticos.
- Se estudia el signo de la derivada antes y después.
- De + a −: máximo. De − a +: mínimo.
Y un cuarto paso que no está en la teoría pero decide la nota: comprobar que la solución tiene sentido y responder en las palabras del problema.
Beneficio B(x) = −x2 + 40x − 100. ¿Cuántas unidades dan el máximo?
- B′(x) = −2x + 40.
- Igualo a cero: −2x + 40 = 0 → x = 20.
- Antes de 20 la derivada es positiva y después negativa: pasa de + a −, así que es máximo.
- Beneficio máximo: B(20) = −400 + 800 − 100 = 300 € vendiendo 20 unidades.
Crecimiento y decrecimiento
| f′(x) | La función |
|---|---|
| > 0 | crece |
| < 0 | decrece |
| = 0 | punto crítico |
Cuidado con el enunciado
Casi siempre se pregunta dos cosas: dónde está el óptimo y cuánto vale. Son dos números distintos: x = 20 unidades y B = 300 €. Confundirlos es el error que más puntos cuesta.
Dónde se lía todo el mundo
Dar por máximo todo punto donde la derivada se anula. Hace falta que cambie de signo: en x3 la derivada se anula en 0 y la función sigue subiendo.
f′(x) = 0 → hay máximof′(x) = 0 → hay un candidato; se mira el signo a los ladosSin cambio de signo no hay ni máximo ni mínimo.
En una frase: se iguala la derivada a cero, se mira el signo a los lados para saber si es máximo o mínimo, y se responde con las unidades del problema.