Es la pregunta práctica de todo modelo de crecimiento: cuándo se duplicará una inversión, cuándo alcanzará una población cierta cifra, cuánto falta para saldar una deuda. Se contesta con logaritmos y en tres líneas.
El método
- Se plantea la ecuación: C · at = objetivo.
- Se aísla la potencia dividiendo por C.
- Se toman logaritmos en los dos lados.
- La propiedad del exponente lo baja, y ya se despeja t.
t = log(objetivo : C) : log a
¿Cuánto tarda en duplicarse un capital al 10 % anual?
- C · 1,1t = 2C.
- Se va la C: 1,1t = 2.
- Logaritmos: t · log 1,1 = log 2.
- t = 0,3010 : 0,0414 = 7,27 años.
La regla del 72
Para estimar de cabeza el tiempo de duplicación: 72 dividido entre el porcentaje. Al 10 %, unos 7,2 años; al 6 %, unos 12. No es exacta, pero se acerca mucho y sirve para juzgar una oferta en el momento.
Interpretar el resultado
El tiempo casi nunca sale entero. Si la pregunta es «¿cuántos años completos hacen falta?», hay que redondear hacia arriba: con 7,27 años, a los 7 todavía no se ha duplicado.
Dónde se lía todo el mundo
Dividir los números en vez de dividir sus logaritmos. t no es 2 : 1,1.
t = 2 : 1,1 = 1,82 añost = log 2 : log 1,1 = 7,27 añosPrimero se toman logaritmos, y después se divide.
En una frase: se aísla la potencia, se toman logaritmos para bajar el exponente y se despeja el tiempo dividiendo logaritmo entre logaritmo.