Es la parte de la probabilidad que aparece en los diagnósticos médicos, en el control de calidad y en cualquier situación donde algo puede venir de varios sitios. Y es la que explica por qué un test muy bueno puede dar muchos falsos positivos.
Probabilidad total: sumar todos los caminos
Si un suceso puede llegar por varias vías incompatibles, se recorre cada una y se suman:
P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B′)·P(A|B′)
Con un diagrama de árbol se ve solo: cada rama se multiplica de arriba abajo y al final se suman las ramas que llevan al suceso.
Bayes: recorrer el árbol al revés
P(B|A) = [P(B)·P(A|B)] : P(A)
Arriba va la rama que interesa; abajo, la suma de todas. Se usa cuando ya se sabe el resultado y se pregunta por la causa: sé que ha dado positivo, ¿qué probabilidad hay de que esté enfermo?
El 60 % estudia. De los que estudian aprueba el 50 %; de los que no, el 25 %. Ha aprobado alguien: ¿probabilidad de que estudiara?
- Rama de los que estudian: 0,6 · 0,5 = 0,30.
- Rama de los que no: 0,4 · 0,25 = 0,10.
- Total de aprobados: 0,30 + 0,10 = 0,40.
- Bayes: 0,30 : 0,40 = 0,75.
Por qué un test bueno da falsos positivos
Poner en el denominador solo la rama que interesa. Abajo va toda la probabilidad del suceso, sumando todas las ramas.
P(B|A) = 0,30 : 0,30P(B|A) = 0,30 : 0,40Arriba una rama, abajo la suma de todas.