Es la más sencilla de las cuatro y la que enseña el método: toda cónica se define como el conjunto de puntos que cumplen una condición de distancias, y de esa condición sale la ecuación. Quien entiende el paso aquí, no tiene que memorizar las otras tres.
La definición, y de dónde sale la ecuación
Es el conjunto de puntos que están a distancia fija r de un punto fijo C. Escribiendo esa condición con la fórmula de la distancia:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
con centro C(a, b) y radio r. Si el centro es el origen, queda x2 + y2 = r2.
La ecuación general
Desarrollando los cuadrados aparece la forma en la que suelen darla los ejercicios:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Y se reconoce por dos señales: los coeficientes de x2 y y2 son iguales, y no hay término en xy.
Hallar centro y radio de x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0
- Completo cuadrados en x: x2 − 6x = (x − 3)2 − 9.
- Y en y: y2 + 4y = (y + 2)2 − 4.
- Sustituyo: (x − 3)2 − 9 + (y + 2)2 − 4 − 12 = 0.
- Ordeno: (x − 3)2 + (y + 2)2 = 25.
- Centro (3, −2) y radio 5.
El atajo
Sin completar cuadrados: centro = (−D:2, −E:2) y r2 = a2 + b2 − F.
El signo del centro va cambiado respecto a la ecuación. En (x − 3)2 el centro tiene abscisa +3, no −3.
(x − 3)2 + (y + 2)2 = 25 → centro (−3, 2)(x − 3)2 + (y + 2)2 = 25 → centro (3, −2)Lo que resta dentro del paréntesis es la coordenada del centro: se lee con el signo cambiado.