Es la herramienta para los casos en los que el teorema del seno no sirve: cuando no hay ninguna pareja completa de lado y ángulo opuesto. Y es, además, la generalización de Pitágoras a triángulos que no son rectángulos.
El teorema
a2 = b2 + c2 − 2bc·cos A
El lado que se busca al cuadrado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos un término de corrección que depende del ángulo entre ellos.
Es Pitágoras con una corrección
Si A = 90°, entonces cos 90° = 0 y el último término desaparece: queda a2 = b2 + c2, que es Pitágoras. El teorema del coseno contiene a Pitágoras como caso particular.
Cuándo se usa
- Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos → se halla el tercer lado.
- Se conocen los tres lados → se despeja cualquier ángulo.
Hallar a con b = 3, c = 4 y A = 60°
- a2 = 9 + 16 − 2·3·4·cos 60°
- cos 60° = 0,5, así que el último término es 24 · 0,5 = 12.
- a2 = 25 − 12 = 13, y a = √13 ≈ 3,61.
El ángulo que entra en la fórmula es el que está entre los dos lados conocidos, no otro cualquiera. Con otro ángulo, el resultado no significa nada.
Con b, c y el ángulo B: a2 = b2 + c2 − 2bccos BHace falta A, el ángulo opuesto al lado que se busca, que es el que forman b y cEl ángulo de la fórmula es siempre el opuesto al lado que aparece a la izquierda.