Es el camino de vuelta: en vez de juntar varias fracciones en una, se parte una fracción complicada en sumandos sencillos. En 2.º de Bachillerato es el paso obligatorio para integrar cualquier función racional, y quien lo aprende aquí llega allí con medio ejercicio hecho.
Cuándo se puede
Cuando el grado de arriba es menor que el de abajo. Si no lo es, primero se divide y se trabaja con el resto.
El método, con denominador de raíces simples
- Se factoriza el denominador.
- Se escribe una fracción por cada factor, con una letra en el numerador.
- Se multiplica todo por el denominador común y se buscan las letras.
Descomponer (5x − 1) : (x2 − x − 6)
- Factorizo abajo: x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
- Planteo: (5x − 1) : [(x − 3)(x + 2)] = A:(x − 3) + B:(x + 2).
- Multiplico por el común: 5x − 1 = A(x + 2) + B(x − 3).
- Truco: doy a x el valor de cada raíz. Con x = 3: 14 = 5A → A = 2,8. Con x = −2: −11 = −5B → B = 2,2.
- Resultado: 2,8:(x − 3) + 2,2:(x + 2).
Por qué funciona el truco de las raíces
Al sustituir x por una raíz del denominador, uno de los paréntesis se anula y su letra desaparece. Queda una ecuación con una sola incógnita, y se despeja en un paso. Sin el truco habría que igualar coeficientes y resolver un sistema.
Si una raíz está repetida, no basta con una fracción por factor: hacen falta tantas como veces se repita, con potencias crecientes.
1:(x − 2)2 = A:(x − 2)21:(x − 2)2 = A:(x − 2) + B:(x − 2)2Con una raíz doble se ponen dos fracciones; con una triple, tres.