La velocidad media de un viaje se calcula dividiendo. La velocidad en un instante no, porque en un instante no ha pasado tiempo. La derivada es la herramienta que resuelve ese problema, y con ella se escribe toda la física desde Newton.
De la tasa de variación media a la derivada
La tasa de variación media entre a y a + h es lo que cambia la función dividido entre lo que cambia x:
TVM = [f(a + h) − f(a)] : h
Es la pendiente de la recta que une los dos puntos. Si ahora se hace h cada vez más pequeño, esa recta se va pegando a la curva:
f′(a) = límh→0 [f(a + h) − f(a)] : h
Las dos lecturas, que son la misma
| Lectura | Qué significa f′(a) |
|---|---|
| Geométrica | la pendiente de la recta tangente en x = a |
| Física | la velocidad de cambio instantánea |
Si f da la posición, f′ da la velocidad. Si f da el coste, f′ da lo que cuesta producir una unidad más.
Calcular f′(2) para f(x) = x2, con la definición
- f(2 + h) = (2 + h)2 = 4 + 4h + h2.
- Resto f(2) = 4: queda 4h + h2.
- Divido entre h: 4 + h.
- Hago h → 0: f′(2) = 4.
f(a) y f′(a) son dos números distintos y responden a preguntas distintas: uno es dónde está y el otro cómo de rápido cambia.
Si f(2) = 4, entonces f′(2) = 4f(2) = 4 es la altura; f′(2) = 4 es la pendiente, y coinciden por casualidadCon f(x) = x2 en x = 3: f(3) = 9 pero f′(3) = 6.