Una función continua es la que se puede dibujar sin levantar el lápiz. Eso, que suena informal, tiene consecuencias enormes: solo las funciones continuas garantizan que si algo pasa de negativo a positivo, en algún punto valió cero. Es la base de todos los métodos para resolver ecuaciones por aproximación.
Las tres condiciones
f(x) es continua en x = a si se cumplen las tres:
- Existe f(a): el punto está en el dominio.
- Existe límx→a f(x): los dos laterales coinciden.
- Coinciden: límx→a f(x) = f(a).
Si falla alguna, hay discontinuidad.
Los tres tipos, y cómo se distinguen
| Tipo | Qué pasa | Se ve como |
|---|---|---|
| Evitable | el límite existe pero no coincide con f(a) —o la función no existe ahí— | un agujero |
| De salto | los laterales existen pero son distintos | un escalón |
| Asintótica | algún lateral es infinito | una asíntota vertical |
Se llama evitable porque se arregla: basta redefinir la función en ese punto con el valor del límite y queda continua.
Estudiar la continuidad de (x2 − 4) : (x − 2) en x = 2
- f(2) no existe: el denominador se anula.
- Pero el límite sí: factorizando queda x + 2, que tiende a 4.
- Falla la primera condición y se cumple la segunda: es una discontinuidad evitable.
- Se evita definiendo f(2) = 4.
Que una función tenga una fórmula «rota» en un punto no la hace asintótica. Si el límite existe y es finito, la discontinuidad es evitable, que es la más suave de las tres.
(x2 − 4):(x − 2) tiene una discontinuidad asintótica en 2Tiene una evitable: el límite existe y vale 4Antes de clasificar, calcula el límite. El tipo lo decide él, no la fórmula.