Con 1 000 encuestados no se pueden calcular mil números combinatorios. La aproximación normal convierte ese cálculo imposible en tipificar y mirar una tabla, y es la que hace posible toda la inferencia de la unidad siguiente.
Cuándo se puede
Si np > 5 y nq > 5, entonces B(n, p) ≈ N(np, √npq)
La corrección de continuidad
Hay un detalle que se olvida y cuesta puntos: la binomial es discreta —cuenta cosas enteras— y la normal es continua. Al pasar de una a otra, cada valor entero se convierte en un intervalo de anchura 1:
| En la binomial | En la normal |
|---|---|
| P(X = 20) | P(19,5 ≤ X ≤ 20,5) |
| P(X ≤ 20) | P(X ≤ 20,5) |
| P(X > 20) | P(X > 20,5) |
| P(X ≥ 20) | P(X ≥ 19,5) |
La regla en una línea: se suma o se resta medio hacia el lado que agranda el conjunto que interesa.
X ~ B(100; 0,5). ¿P(X > 60)?
- np = 50 > 5 y nq = 50 > 5: se puede aproximar.
- μ = 50 y σ = √(100·0,5·0,5) = √25 = 5.
- Corrección: P(X > 60) pasa a P(X > 60,5).
- Tipifico: z = (60,5 − 50) : 5 = 2,1.
- P(Z > 2,1) = 1 − 0,9821 = 0,0179.
Aproximar sin comprobar las condiciones. Con B(20; 0,1) sale np = 2, que no llega a 5: la binomial ahí es muy asimétrica y la normal da un resultado que no vale.
Aproximo siempre que n sea grandeCompruebo np > 5 y nq > 5Las dos condiciones, no solo una: con p = 0,99 falla la segunda.