Sirve para todo lo que se repite y solo puede salir bien o mal: cuántos de los encuestados votan a un partido, cuántas piezas salen defectuosas, cuántos clientes responden a una promoción.
Cuándo se puede usar
- Un número fijo de repeticiones, n.
- Cada una da éxito o fracaso.
- La probabilidad p es la misma siempre.
- Las repeticiones son independientes.
Se escribe X ~ B(n, p).
Las fórmulas
P(X = k) = Cn,k · pk · qn−k
μ = np σ = √npq
El número combinatorio cuenta en cuántos órdenes pueden salir los k éxitos, y olvidarlo es el error clásico: sin él se calcula la probabilidad de una secuencia concreta, no la de k éxitos en cualquier orden.
Lanzar 4 monedas: P(X = 2) caras
- X ~ B(4; 0,5), así que q = 0,5.
- C4,2 = 6: hay 6 formas de que salgan 2 caras entre 4 tiradas.
- 0,54 = 0,0625.
- P(X = 2) = 6 · 0,0625 = 0,375.
La aproximación normal
Cuando n es grande —en la práctica, si np > 5 y nq > 5— la binomial se parece tanto a una normal que se sustituye por ella: B(n, p) ≈ N(np, √npq). Es lo que permite tratar una encuesta de 1 000 personas sin calcular mil números combinatorios.
Dónde se lía todo el mundo
Usar la binomial cuando la probabilidad cambia entre repeticiones. Sacar cartas sin devolverlas no es binomial: la segunda extracción parte de una baraja distinta.
«3 cartas sin devolver, ¿cuántos ases? Es binomial»No lo es: p cambia en cada extracciónCon devolución sí lo sería.
En una frase: la binomial cuenta éxitos en n intentos iguales e independientes, y si n es grande se aproxima por una normal.