Sacar dos cartas, entrevistar a tres personas, revisar cuatro piezas seguidas. Casi todos los enunciados hacen algo dos o más veces, y de un detalle del enunciado depende toda la solución: si se devuelve o no.
La pregunta que lo decide todo
| Con devolución | Sin devolución | |
|---|---|---|
| ¿Cambia p? | no | sí |
| ¿Son independientes? | sí | no |
| ¿Se puede usar la binomial? | sí | no |
«Se extraen dos cartas a la vez» es lo mismo que «sin devolución»: la segunda ya no puede ser la primera. Es la forma más habitual de decirlo sin decirlo.
Cómo se calcula
Se multiplican las probabilidades a lo largo de la rama, teniendo en cuenta cómo queda todo después de cada paso:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Dos cartas seguidas de una baraja de 40, sin devolver. ¿Las dos oros?
- Primera oro: 10 : 40 = 0,25.
- Ahora quedan 39 cartas y solo 9 oros.
- Segunda oro sabiendo la primera: 9 : 39.
- P(dos oros) = (10:40) · (9:39) ≈ 0,0577.
- Con devolución habría salido 0,25 · 0,25 = 0,0625: algo más, porque la primera no gasta un oro.
Cómo se reconoce en el enunciado
| Dice | Es |
|---|---|
| «se extrae, se anota y se devuelve» | con devolución |
| «se extraen dos a la vez» | sin devolución |
| «se elige una muestra de 3 personas» | sin devolución |
| «se lanza el dado tres veces» | con devolución: el dado no se gasta |
Dónde se lía todo el mundo
Usar la misma probabilidad en las dos extracciones cuando no se devuelve. Después de sacar un oro quedan 39 cartas y 9 oros: los dos números cambian.
(10:40) · (10:40)(10:40) · (9:39)Cambia el numerador y el denominador.
En una frase: si se devuelve, la probabilidad no cambia y los intentos son independientes; si no, cambian los favorables y los posibles en cada paso.