La primera derivada dice si la función sube o baja. La segunda dice cómo lo hace: acelerando o frenando. Con las dos se dibuja una función sin dar valores, y se distingue un máximo de un mínimo sin estudiar signos.
Qué dice el signo de f″(x)
| f″(x) | Curvatura | Forma |
|---|---|---|
| > 0 | convexa | ∪, como un vaso |
| < 0 | cóncava | ∩, como una cúpula |
| = 0 y cambia de signo | punto de inflexión | cambia la curvatura |
Los nombres «cóncava» y «convexa» se usan al revés en algunos libros, así que en un examen conviene añadir el símbolo ∪ o ∩: eso no se malinterpreta.
El criterio de la segunda derivada
Es la forma rápida de clasificar un punto crítico, cuando ya se sabe que f′(a) = 0:
| f″(a) | En a hay |
|---|---|
| > 0 | mínimo (curva ∪) |
| < 0 | máximo (curva ∩) |
| = 0 | no decide: hay que mirar el signo de f′(x) |
Se recuerda con el dibujo: si la curva abre hacia arriba, el punto donde se para es el fondo.
Clasificar los puntos críticos de x3 − 6x2 + 9x
- f′(x) = 3x2 − 12x + 9, que se anula en x = 1 y x = 3.
- f″(x) = 6x − 12.
- f″(1) = 6 − 12 = −6 < 0 → máximo.
- f″(3) = 18 − 12 = 6 > 0 → mínimo.
Puntos de inflexión
Se buscan resolviendo f″(x) = 0, y hay que comprobar que la segunda derivada cambia de signo: que se anule no basta, igual que con los extremos.
Dar por inflexión todo punto donde f″(x) = 0. En x4 la segunda derivada se anula en 0 y la curva sigue siendo ∪ a los dos lados.
f″(x) = 0 → punto de inflexiónf″(x) = 0 → candidato; hay que ver si cambia la curvaturaMisma lógica que con los máximos: lo que decide es el cambio de signo.