Resuelve de un vistazo límites que con L'Hôpital costarían tres o cuatro derivadas. En la EvAU no siempre se puede citar sin más, pero saberlo dice de antemano qué va a salir y evita meterse en un callejón.
El orden
Cuando x → ∞, no todos los infinitos crecen igual. De más rápido a más lento:
ax ≫ xn ≫ ln x
| Gana siempre | Frente a | Ejemplo |
|---|---|---|
| exponencial | cualquier potencia | ex crece más que x100 |
| potencia mayor | potencia menor | x3 más que x2 |
| cualquier potencia | logaritmo | x crece más que ln x |
límx→∞ x100 : ex
- Arriba, una potencia. Abajo, una exponencial.
- La exponencial gana siempre, por grande que sea el exponente de arriba.
- El denominador acaba aplastando al numerador.
- Límite: 0.
Por qué el exponente no importa
Parece que x100 debería ganar a ex durante mucho tiempo, y de hecho lo hace: hasta valores de x bastante grandes. Pero el límite mira lo que pasa al final, y ahí la exponencial se impone siempre. Una potencia multiplica por un factor cada vez menor; la exponencial multiplica por el mismo factor cada vez.
Con polinomios, lo de siempre
Entre dos polinomios manda el grado, que es la misma regla vista de cerca: el término de mayor grado es el infinito más fuerte y los demás se vuelven despreciables.
Pensar que un exponente muy grande gana a la exponencial. x1000 pierde igual que x2: solo tarda más en notarse.
límx→∞ x1000 : ex = ∞= 0: la exponencial gana a cualquier potenciaEl límite no mira el camino, mira el destino.